Vorlesung "Harmonische Analysis"

Dozent:                              Univ.-Prof. Dr. Vadim Kostrykin

Vorlesungstermine:           Di 14:00      im Raum 05-426

                                           Do 14:00     im Raum 05-426

Über die Vorlesung

Die harmonische Analysis hat ihren Ursprung in der Fourier-Analysis, die sich mit der Darstellung von Funktionen durch Fourier-Reihen und Fourier-Integrale beschäftigt. Der Ausgangspunkt ist die Frage, ob die Fourier-Reihe (bzw. das Fourier-Integral) einer Funktion gegen diese Funktion konvergiert. Dass diese Frage gar nicht trivial ist, zeigt das Beispiel einer periodische Funktion f, deren Fourier-Reihe in jedem Punkt divergent ist. Es stellt sich heraus, dass die Konvergenzeigenschaften von Fourier-Reihen sehr eng mit Eigenschaften gewisser singulärer Integraloperatoren verbunden sind. In diesem Zusammenhang spielt die Hilbert-Transformation ein besonders wichtige Rolle. Sie verbindet die Real- und Imaginärteile von Grenzwerten einer im Einheitskeis (oder in der Halbebene) holomorphen Funktion miteinander.

Diese und einige weitere Themen (Hardy-Klassen, holomorphe Funktionen mit positivem Imaginärteil, ...) werden in der Vorlesung ausführlich behandelt.

Kenntnisse aus Funktionalanalysis und Maßtheorie sind vom Vorteil aber keine Voraussetzung.

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1. Fourierreihen

1.1 Fourierkoeffizienten

1.2 Die Faltung

1.3 Summierbarkeit von Fourierreihen

1.4 Lokale Summierbarkeit von Fourierreihen (Dini und Jordan)

1.5 Der Banachraum A(T)

1.6 Schwache L^p-Räume

1.7 Maximalfunktionen

1.8 Summierbarkeit von Fourierreihen fast überall

1.9 Konvergenz von Fourierreihen fast überall

Kapitel 2. Die Hilberttransformation

2.1 Die Normkonvergenz von Fourierreihen

2.2 Die Hilberttransformation in L²(T)

2.3 Calderon-Zygmund-Zerlegung

2.4 Die Hilberttransformation auf L^p(T)

Kapitel 3. Harmonische Funktionen

3.1 Die Darstellungsformel von Poisson

3.2 Die Grenzwerte. Sätze von Fatou

3.3 Konjugiert harmonische Funktion

3.4 Satz der Gebrüder Riesz

3.5 Die Hardy-Räume

3.6 Der Eindeutigkeitssatz für H¹-Funktionen

3.7 Das Blaschke-Produkt

3.8 Innere und äußere Funktionen

 

Literatur zur Vorlesung (Auswahl)

• J. Arias de Reyna: „Pointwise Convergence of Fourier Series“, Lecture Notes in Mathematics, 1785, Berlin, Springer-Verlag, 2002. doi:10.1007/b83346
• L. Grafakos: „Classical Fourier Analysis“, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 249, Berlin, Springer-Verlag, 2008. doi:10.1007/978-0-387-09432-8
• L. Grafakos: „Modern Fourier Analysis“, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 250, Berlin, Springer-Verlag, 2009. doi:10.1007/978-0-387-09434-2
• A. Zygmund: „Trigonometric Series“, Vol. 1 and 2, Cambridge University Press, 1959.
• S.G. Krantz: „Explorations in Harmonic Analysis“, Boston, Birkhäuser, 2011. http://www.math.wustl.edu/~sk/books/harmonic.pdf
• J.B. Garnett: „Bounded Analytic Functions“, New York, Academic Press, 1981.
• P. Koosis: „Introduction to H_p Spaces“, Cambridge University Press, 1980.