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SS 2012


Mathematik für Physiker 1

Elementarmathematik

Hauptseminar Fraktale

 

Mathematik für Physiker 1

 

Klausureinsicht: Montag, 27.08.2012, 10.00-12.00 Uh, gegenüber 04-517


Aktuelles

  • Klausur und Bewertungsmaßstab eingehangen (27.08.2012; 14.35 Uhr)
  • den ganzen Packen eingehangen

 

Termine

  • Vorlesung: Mo, Di 8.00-10.00 Uhr, Hörsaal der Kernphysik N6
  • Übungen: Fr 12.00-14.00 Uhr, Raum 04-422 bei Sylvia Weis
                     Fr 14.00-16.00 Uhr, Raum 04-516 bei Thomas Secker

 

Bei organisatorischen Fragen zu den Übungen usw. wenden Sie sich bitte an Herrn Henning Hollborn.


Vorlesungsinhalt (hier der ganze Packen)

1.1 Elemente der mathematischen Logik

1.2 Elemente der Mengenlehre

1.3 Zahlensysteme

1.4 Natürliche und ganze Zahlen

1.5 Die reellen Zahlen

1.6 Die komplexen Zahlen

2.1 Reelle und komplexe Vektorräume

2.2 Basis und Erzeugendensysteme

2.3 Lineare Abbildungen

2.4 Verknüpfung von linearen Abbildungen

2.5 Die Dimensionsformel

2.6 Lineare Abbildungen und Matrizen

2.7 Matrizenalgebra

2.8 Vektorraumisomorphismen

2.9 Basistransformationen

2.10 Lineare Gleichungssysteme

2.11 Determinanten

2.12 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.1 Einleitung

3.2 Folgen und Mengen

3.3 Stetige Funktionen

4.1 Reelle Differenzierbarkeit

4.2 Die reelle und die komplexe Exponentialfunktion

4.3 Mittelwertsätze und Zwischenwertsätze

4.4 Die Regel von de l'Hospital

4.5 Die Taylorsche Formel in einer Veränderlichen

4.6 Maxima und Minima eindimensionaler Funktionen

5.1 Einführung des Riemannintegrals

5.2 Kriterien zur Riemannintegrierbarkeit

5.3 Beispiele

5.4 Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen

5.5 Integration nach Darboux

5.6 Riemannintegrierbare Funktionen

5.7 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

5.8 Partielle Integration und Substitution

5.9 Literaturnachweis



Übungsblätter

 

Vorbereitungsfragen zur Klausur

 

Klausur hier

Bewertung:

38.0-41.5 Punkte    4.0

42.0-45.5 Punkte    3.7

46.0-49.5 Punkte    3.3

50.0-53.5 Punkte    3.0

54.0-57.5 Punkte    2.7

58.0-61.5 Punkte    2.3

62.0-65.5 Punkte    2.0

66.0-69.5 Punkte    1.7

70.0-73.5 Punkte    1.3

74.0-80.0 Punkte    1.0

 

Literatur

  • Burk, F.E.: A garden of integrals
  • Deiser, O.: Einführung in die Mengenlehre
  • Hildebrandt, S.: Analysis 1
  • de Jong, T.: Analysis
  • Kurtz, D.S.; Swartz, C.W.: Theories of integration
  • Pforr, E.A.; Schirotzek, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen
  • Rudin, W.: Analysis
  • Sauvigny, F.: Einführung in die reelle und komplexe Analysis mit ihren gewöhnlichen Differentialgleichungen
  • Spivak, M.: Calculus
  • Stillwell, J.: Mathematics and its history
  • Wolf, R.S.: A tour through mathematical logic
  • Ziegler, M.: Mathematische Logik

 

Elementarmathematik

 

Studenten der alten PO (2008): Unbedingt durchlesen!

 

Termine

  • Zu-keinem-Termin-Zeit-haben-Übung am Freitag morgen im Raum 04-230

  • Klausur: 23.07., 11.30 Uhr, Treffpunkt vorher vor der Muschel

 

Termin für Klausureinsicht: 10. August 2012, 10. Uhr, Raum 04-230


Aktuelles

  • Kapitel 4 korrigiert, erweitert (10.07.; 17.00 Uhr)
  • Blatt 12 eingehangen (10.07.; 16.15 Uhr)
  • Kapitel 3 leicht korrigiert (02.07.; 13.04 Uhr)
  • Kapitel 4 eingehangen (noch zu korrigieren; 02.07.; 13.02 Uhr)

 

Bei organisatorischen Fragen zu den Übungen usw. wenden Sie sich bitte an Herrn Thomas Weißschuh.


Vorlesungsinhalt

1.1 Zahlensysteme

1.2 Der Goldene Schnitt

1.3 Die Fibonacci-Zahlen

1.4 Summenformeln

1.5 Die geometrische Reihe

1.6 Vollständige Induktion und binomische Formel

2.1 Der Satz des Pythagora

2.2 Kegelschnitte

3.1 Elementare Funktionen

3.2 Summe der ersten n Potenzen. Bernoullizahlen

3.3 Winkelfunktionen

3.4 Hyperbolische Funktionen

4.1 Differentiation

4.2 Integration

 

 

Übungsblätter

 

 

Literatur

  • Gellert, W.; Kästner, H.; Neuber, S.: Lexikon der Mathematik
  • Glaeser, G.: Der mathematische Werkzeugkasten
  • Glaeser, G.; Polthier, K.: Bilder der Mathematik
  • Hildebrandt, S.: Analysis 1
  • Schröder, H.: Wege zur Analysis
  • Spivak, M.: Calculus

 

 

Hauptseminar Fraktale

 

Ort und Zeit: Freitag 12.00-14.00 Uhr, Raum 04-516

 

  • Thema 1: Jordaninhalt und Lebesguemaß

(Joanna Mickiewicz; 27.04.2012)

      • Das allgemeine Maßproblem
      • Jordaninhalt, Jordansche Nullmengen, Beispiele
      • Riemannintegrierbarkeit, Riemannintegral
      • Zusammenhang zu Jordanmessbarkeit
      • äußeres Lebesguemaß
      • messbare Funktionen
      • Caratheodory-Kriterium
      • Lebesgueintegral nach Lebesgue und Young
      • Beispiele und Gegenbeispiele
Literatur:
Vorlesungsmanuskript
[FV] Kapitel 4, Abschnitte 4.1 bis 4.8, 4.11, 4.12, 4.14
        Kapitel 5, Abschnitte 5.1, 5.2, 5.4
Lehrbücher
[Bu] Abschnitte 1.6,1.7, Kapitel 3, Kapitel 5,6
[EG] Kapitel 1
[Ko] Kapitel 12,13
[KS] Kapitel 2,3
Originalarbeiten
[C1], [H1], [H2]
Thema 2: Hausdorffmaß und Hausdorffdimension
(Paul Trunk; 03.05.2012)
  • Definition äußeres Maß, Hausdorffmaß, Verhalten unter Ähnlichkeitstransformationen und Hölder- und Lipschitzabbildungen
  • Definition Hausdorffdimension, Verhalten unter Hölder- und Lipschitzabbildungen
  • Hausdorffmaß und Hausdorffdimension beim Cantorstaub
Literatur:
Vorlesungsmanuskript
[FV] Kapitel 6, Abschnitte 6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6,6.7,6.8
Lehrbücher
[F1] Kapitel 2, Abschnitte 2.1, 2.2, 2.3 Example 2.6
[EG] Kapitel 2
Originalarbeiten
[H3]
  • Thema 3: Die Cantormenge
(Sebastian Koch; 11.05.2012)
      • Konstruktion
      • metrische und maßtheoretische Eigenschaften
      • selbstähnliche Eigenschaften der Cantormenge
Literatur:
Lehrbücher
[PJS] Kapitel 2, Abschnitt 2.1
Originalarbeiten
[Hi] Kapitel 1, Abschnitte 1.1, 1.2, 1.3 (ohne die Dimensionsbetrachtungen)
  • Thema 4: Selbstähnliche Mengen
(Sebastian Buchwald)
      • Definition Selbstähnlichkeit und Beispiele (Cantormenge, Cantorstaub, Sierpinskidreieck usw.)
      • Definition Ähnlichkeitsdimension und Beispiele (Cantorstaub, Cantormenge usw.)
      • Zusammenhang Ähnlichkeitsdimension und Hausdorffdimension
      • Vorkommen in der Natur
Literatur:
Vorlesungsmanuskript
[FV] Kapitel 6, Abschnitte 6.8,6.9,6.10,6.11
Lehrbücher
[F1] Introduktion; Kapitel 9, Abschnitte 9.1,9.2,9.5
[Ko] Kapitel 5, Abschnitt 5.7
[PJS] Kapitel 2, Abschnitte 2.1,2.2,2.3,2.4
[Sa] Kapitel 9
  • Thema 5: Die Boxzähldimension
(Alexander Burghardt)
      • Problemstellung, erwünschte Eigenschaften eines Dimensionsbegriffs
      • Definition Boxzähldimension und äquivalente Darstellungen
      • Boxzähldimension für die Cantormenge
      • weitere Eigenschaften und Probleme
      • Dimensionsabschätzung von Küstenstreifen
Literatur:
Lehrbücher
[Ed] Selection 19 How long is the coast of Britain? (B. Mandelbrot)
[F1] Kapitel 3, Abschnitte 3.1,3.2
[PJS] Abschnitt 4.3
[Sc] Kapitel 10
  • Thema 6: Lokale Struktur fraktaler Mengen
(Hendrik Maßhöfer; 01.06.2012)
      • untere und obere Dichten
      • reguläre und irreguläre Punkte
      • Regularität von s-Mengen in der Ebene
      • Zusammenhang von 1-Mengen und rektifizierbaren Kurven
      • kurvenähnliche und kurvenfreie 1-Mengen
      • Existenz von Tangenten
Literatur:
Lehrbücher
[F1] Kapitel 5
  • Thema 7: Beispiele aus der Zahlentheorie
(Josephine Krönke; 08.06.2012)
      • Verteilung von Zifferstellen
      • Kettenbrüche und Fraktale
      • Diophantische Approximation
      • Jarniks Theorem
Literatur:
[F1] Kapitel 10
  • Thema 8: Flächenfüllende Kurven
(Thomas Schäfer, Torsten Schmitt; 15.06.2012)
      • Historische Einführung in flächenfüllende Kurven
      • Definition flächenfüllender Kurven
      • Konstruktion der Hilbertschen Kurve
      • Nachweise von Stetigkeit, Nirgends-Differenzierbarkeit, Surjektivität
      • Geometrische Darstellung der Peanoschen Kurve und Regularitätseigenschaften (überblicksartig)
      • Moores Variante der Hilbertschen Kurve (überblicksartig)
      • Sierpinski-Knopp-Kurve und Polyas Verallgemeinerung (überblicksartig)
      • Cantor-Funktion und Lebesgues flächenfüllende Kurve (detaillierter)
      • Anwendungen
Literatur:
Vorlesungsmanuskript
[FV] Kapitel 6, Abschnitt 6.12
Lehrbücher
[Sa] Kapitel 1 bis 5
[PJS] Abschnitt 2.5
Originalarbeiten
[Hb], [Kn], [Mo], [Po], [S1]
[Th] Kapitel 1; Kapitel 3, Abschnitt 3.6
Thema 9: Nirgends differenzierbare Funktionen
(Lukas Holbach, Alexej Disterhoft; 29.06.2012)
      • Historische Einführung in pathologische Funktionen
      • Weierstraßsche Funktion, Stetigkeit und Nirgends-Differenzierbarkeit
      • Dimensionsabschätzung und offene Probleme
      • von Koch-Kurve
      • weitere Beispiele aus Thims Masterarbeit
Literatur:
Vorlesungsmanuskript
[FV] Kapitel 6
Lehrbücher
[F1] Kapitel 11
Originalarbeiten
[Ed], [Th] Abschnitt 3.4
[Vo]
  • Thema 10: Komplexe Analysis und Juliamengen
(Krystian Gaus; 06.06.2012)
  • Thema 11: Anwendungen
(Lukas Rudolph, Peter Laufer)
  • Vermessung von Küstenlinien
Thema 12: n.n.
(Andre Schumann)

Literatur
  • [Bu]    Burk, F.E.: A garden of integrals
  • [C1]    Caratheodory, C.: Über das lineare Maß von Punktmengen
  • [Ed]    Edgar, G.A.: Classics on fractals
  • [EG]   Evans, L.; Gariepy, R.F.: Measure theory and fine properties of functions
  • [F1]    Falconer, K.: Fractal geometry
  • [F2]    Falconer, K.: Techniques in fractal geometry
  • [FV]    Fröhlich, S.: Mathematik für Physiker 2a. Vorlesungsmanuskript WS 2011
  • [H1]    Hausdorff, F.: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen
  • [H2]    Hausdorff, F.: Die Mächtigkeit der BorelschenMengen
  • [H3]    Hausdorff, F.: Dimension und äußeres Maß
  • [Hb]    Hilbert, D.: Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück
  • [Hi]     Hindersin, L.: Die Cantorfunktion
  • [Kn]    Knopp, K.: Einheitliche Erzeugung und Darstellung der Kurven von Peano, Osgood und von Koch
  • [Ko]    Koliha, J.J.: Metrics, norms and integrals
  • [KS]    Kurtz, D.S.; Swartz, C.W.: Theories of integration
  • [Mo]    Moore, E.H.: On certain crinkly curves
  • [PJS]   Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D.: Fractals for the classroom
  • [Po]    Polya, G.: Über eine Peanosche Kurve
  • [Sa]    Sagan, H.: Space-filling curves
  • [Sc]    Schroeder, M.: Fractals, chaos, power laws
  • [S1]    Sagan, H.: An analytic proof of the nowhere differentiability of Hilbert's space filling curve
  • [Th]    Thim, J.: Continuous nowhere differentiable functions
  • [Vo]    Volkert, K.: Die Geschichte der pathologischen Funktionen

Internetseiten

 

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